用高斯法计算矩阵的行列式（Calculating the determinant of a matrix by Gauss）
问题：
给定一个大小为 N × N N \times N N×N 的矩阵 A A A ，计算其行列式。
算法
我们使用高斯法的思想来解决线性方程组的问题。
我们将执行与解线性方程组相同的步骤，只排除将当前行除以 a i j a_{ij} aij 的步骤。这些操作不会改变矩阵行列式的绝对值。然而，当我们交换矩阵的两行时，行列式的符号会发生变化。
在矩阵上应用高斯后，我们得到一个对角线矩阵，其行列式只是对角线上元素的乘积。如前所述，其符号可以由交换的行数决定（如果是奇数，那么行列式的符号应该是相反的）。因此，我们可以使用高斯算法来计算矩阵的行列式，其复杂度为 O ( N 3 ) O(N^3) O(N3) 。
应该注意的是，如果在某一时刻，我们没有在当前列中找到非零单元格，那么该算法应该停止，并返回0。
实现
const double EPS = 1E-9;
int n;
vector < vector<double> > a (n, vector<double> (n));double det = 1;
for (int i=0; i<n; ++i) {int k = i;for (int j=i+1; j<n; ++j)if (abs (a[j][i]) > abs (a[k][i]))k = j;if (abs (a[k][i]) < EPS) {det = 0;break;}swap (a[i], a[k]);if (i != k)det = -det;det *= a[i][i];for (int j=i+1; j<n; ++j)a[i][j] /= a[i][i];for (int j=0; j<n; ++j)if (j != i && abs (a[j][i]) > EPS)for (int k=i+1; k<n; ++k)a[j][k] -= a[i][k] * a[j][i];
}cout << det;
本文链接：https://my.lmcjl.com/post/13809.html
展开阅读全文
4 评论