机器学习算法之–对数几率回归（逻辑斯蒂回归）算法

一、算法原理

1.1、预测函数

找出一个预测函数模型，输出值在[0,1]之间。接着，再选择一个基准值（例如0.5），若预测值》0.5，则预测为1；否则预测为0；【二分类问题】

我们可选择：g(z)=11+e−zg(z)=\frac{1}{1+e^{-z}}g(z)=1+e−z1​作为预测函数。
该函数称为Sigmoid函数，也可称作Logistic函数（名称由来），其图形如下

图中可以看出：

• z=0：g(z) = 0.5
• z>0：g(z) > 0.5，当z越来越大时，g(z)无限接近于1。
• z<0：g(z) < 0.5，当z越来越小时，g(z)无限接近于0。

显然，这正符合我们想要的分类方式。

我们再结合线性回归的预测函数hθ(x)=θTxh_\theta(x)=\theta^Txhθ​(x)=θTx，则逻辑斯蒂回归算法的预测函数如下：r=hθ(x)=g(z)=g(θTx)=11+e−θTxr=h_\theta(x)=g(z)=g(\theta^Tx)=\frac{1}{1+e^{-\theta^Tx}}r=hθ​(x)=g(z)=g(θTx)=1+e−θTx1​

此处求解的是在输入x，参数θ的前提下，y=1的概率,用概率论公式可表示为hθ(x)=P(y=1∣x,θ)h_\theta(x)=P(y=1|x,\theta)hθ​(x)=P(y=1∣x,θ)
且必有：P(y=1∣x,θ)+P(y=0∣x,θ)=1P(y=1|x,\theta)+P(y=0|x,\theta)=1P(y=1∣x,θ)+P(y=0∣x,θ)=1

r为正例可能性，1-r是其反例可能性，二者比值r1−r\frac{r}{1-r}1−rr​称为“几率”，反映了x作为正例的相对可能性，进一步对几率取对数，则得到“对数几率”lnr1−rln\frac{r}{1-r}ln1−rr​
在二分类中，这是一个非黑即白的世界

实际上，这是在用线性回归模型的预测结果去逼近真是标记的对数几率，因此成为对数几率回归

对于

1.2、参数估计（如何计算θ）

在训练过程中，算法通过最大化似然函数求解θ。具体来说，似然函数表示的是P(Y|X)的条件概率。统计学家通常使用“最大似然估计”方法来进行参数估计。这种方法就是求解参数W，使得模型的似然函数在已知观测数据下最大。
lnP(y=1∣x)1−P(y=0∣x)=θTx=wxln\frac{P(y=1|x)}{1-P(y=0|x)} = \theta^Tx=wxln1−P(y=0∣x)P(y=1∣x)​=θTx=wx

也就是说，在逻辑回归中，输出y=1的对数几率是输入x的线性函数。
显然有,P(y=1∣x)=eθTx1+eθTxP(y=0∣x)=11+eθTxP(y=1|x)=\frac{e^{\theta^Tx}}{1+e^{\theta^Tx}}\\P(y=0|x)=\frac{1}{1+e^{\theta^Tx}}P(y=1∣x)=1+eθTxeθTx​P(y=0∣x)=1+eθTx1​

设：P(y=1∣x)=π(x),P(y=0∣x)=1−π(x)P(y=1|x)=\pi(x), P(y=0|x)=1-\pi(x)P(y=1∣x)=π(x),P(y=0∣x)=1−π(x)
于是可以通过极大似然估计来估计模型参数，似然函数为
∏i=1n[π(xi)]yi[1−π(x)]1−yi\prod_{i=1}^n[\pi(x_i)]^{y^i}[1-\pi(x)]^{1-y^i}i=1∏n​[π(xi​)]yi[1−π(x)]1−yi
对数似然函数为L(w)=∑i=1n[yilogπ(xi)+(1−yi)log(1−π(x))]L(w)=\sum_{i=1}^n[y_ilog\pi(x_i)+(1-y_i)log(1-\pi(x))]L(w)=i=1∑n​[yi​logπ(xi​)+(1−yi​)log(1−π(x))]

• 成本函数(所有样本的成本平均值)：-1nL(w)\frac{1}{n}L(w)n1​L(w)

对L(w)求极值，便可得到w的估计值，问题也就变成了第一对数似然函数为目标的最优化问题L(w)求极值，便可得到w的估计值，问题也就变成了第一对数似然函数为目标的最优化问题L(w)求极值，便可得到w的估计值，问题也就变成了第一对数似然函数为目标的最优化问题

二、模型优化

2.1、梯度下降算法、

根据梯度下降算法定义，可以得到
θj=θj−α∂J(θ)∂θj\theta_j=\theta_j-\alpha\frac{\partial J(\theta)}{\partial \theta_j}θj​=θj​−α∂θj​∂J(θ)​
此处关键是求成本函数的偏导数，最终得到梯度下降算法公式
θj=θj−α1m∑i=1m((h(xi)−yi)xji)\theta_j= \theta_j-\alpha\frac{1}{m}\sum_{i=1}^m ((h(x^i)-y^i)x_j^i)θj​=θj​−αm1​i=1∑m​((h(xi)−yi)xji​)

注意此处的形式和线性回归算法的参数迭代公式是一样的，但数值计算方法完全不同
逻辑：hθ(x)=11+e−θTxh_\theta(x)=\frac{1}{1+e^{-\theta^Tx}}hθ​(x)=1+e−θTx1​
线性：hθ(x)=θTxh_\theta(x)=\theta^Txhθ​(x)=θTx

*除了梯度下降算法之外，还有拟牛顿法等都可以求得其最优解

三、多元分类

逻辑回归可以解决二分类问题，那如果需要分类的超过了两个类别呢？显然也是也以应对的。

假设总共有n+1个类别，y={0，1，2，3，…，n}，思路是转化为二元分类

• 类别一：0，类别二：1~n，分别计算概率；
• 类别一：1，类别二：0，2~n，再分别计算概率；
• …
• 类别一：n，类别二：0~n-1，再分别计算概率。

由此可见，总共需要n+1个预测函数，分别计算P（y=0|x，θ）,…，P（y=n|x，θ）

• 最后预测值：prediction=maxi(hθ(i)(x))prediction=max_i(h_\theta^{(i)}(x))prediction=maxi​(hθ(i)​(x))

预测出概率最高的哪个类别，就是样本所属类别

四、正则化

• 采用正则化可以用来解决模型过拟合问题
• 保留所有的特征，减少特征的权重θj\theta_jθj​的值，确保所有的特征对预测值都有少量的贡献。
  当每个特征Xi对预测值Y都有少量的贡献时，这样的模型可以良好的工作，这就是正则化的目的。

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