傅立叶变换
先看连续和离散系统的公式：
\[F(w)=\int^{+\infty}_{-\infty} f(t)e^{-iwt}dt=\int^{+\infty}_{-\infty} f(t)(\cos wt-i\sin wt)dt \tag{1}
\]
\[F(w)=\sum^{+\infty}_{t=-\infty}f(t)(\cos wt-i\sin wt) \tag{2}
\]
其中利用了欧拉公式：$$e^{iwt}=\cos wt+i \sin wt$$
看最简单的\(f(t)=1,-1\leq t\leq 1\)，得到
\[F(w)=\int_{-1}^{1}(\cos wt-i\sin wt)dt=\frac{1}{w}[\sin wt+i\cos wt]|_{-1}^{1}=\frac{2}{w}\sin w \tag{3}
\]
也就是说，其频谱为\(F(w)=\frac{2}{w}\sin w\)，幅度为\(|F(w)|=|\frac{2}{w}\sin w|\)。
意思就是如下图，原图源自韩昊：
一维卷积
还是先是公式：
\[(f*h)(t)=\int^{t}_{-\infty}f(\tau)h(t-\tau)d\tau \tag{4}
\]
什么意思呢？其中\(h(t)\)是系统对单位冲激函数\(\delta(t=0)\)的响应，该响应将持续对系统的输出做出贡献。如图。
在\(t=0\)时刻，冲激函数的幅值为\(f(0)\)，那么系统对它的响应就是\(f(0)h(t)\)，该响应在时刻\(t\)的值为：
\[s(t)=f(0)h(t)
\]
事实上，在\(t\)时刻之前的任一时刻\(\tau\)，系统中均有输入\(f(\tau)\)，对应的冲激响应为\(f(\tau)h(t-\tau)\)，那么对\(t\)时刻之前的所有时刻\(\tau\)进行积分，得到式\((4)\)。如图：
图解法求卷积
对函数\(g\)依次做反褶，平移t，计算在不同\(t\)下，两个函数曲线所围的面积(下图中如果f(0)=2呢，是否还是面积?所以有系数的哈，这个只能确认积分区间)。
卷积的计算机算法
计算卷积的算法是"不进位乘法"，如下图所示(计算机编程的算法，与上述图解法一样的)：
二维卷积
与一维卷积的滑窗类似，二维卷积也用滑窗进行计算。广泛用在图像处理领域。
以下内容转自CSDN博客
算法：对矩阵A,B进行卷积：conv2(A,B)，其中A为图像矩阵，B为卷积核。
-
对矩阵A补零。如图。
-
将卷积核B分别沿行方向和列方向进行反褶(相当于沿中心旋转180°)。如图。
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滑动滑窗，将卷积核的中心位于图像矩阵的每个元素，求滑窗内两矩阵点积(按元素乘)之和。如图。
在图像处理中，卷积常用于对图像模糊处理，边缘检测，产生轧花效果等。
在深度学习中，卷积在卷积网络中发挥作用。
本文链接：https://my.lmcjl.com/post/16122.html
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