NumPy 数组的数学运算是 NumPy 中非常重要的一个特性。在 NumPy 中，数组可以进行一系列的数学运算，包括加减乘除、幂次方、三角函数、指数函数等。这些数学运算可以对整个数组进行操作，也可以对数组中的每个元素进行操作。下面就对 NumPy 数组的数学运算进行详细介绍。

NumPy四则运算

NumPy 数组的加减乘除运算与 Python 中的运算是类似的，可以使用 +、-、*、/ 运算符进行运算。需要注意的是，这些运算符作用于数组时，是逐元素进行运算的。下面是一些例子：

import numpy as np

# 加减乘除运算
a = np.array([1, 2, 3])
b = np.array([4, 5, 6])
c = a + b  # [5 7 9]
d = a - b  # [-3 -3 -3]
e = a * b  # [4 10 18]
f = b / a  # [4.  2.5 2. ]

幂次方运算

NumPy 中的幂次方运算使用 ** 运算符，也可以使用 np.power() 函数进行运算。下面是一些例子：

# 幂次方运算
a = np.array([2, 3, 4])
b = a ** 2  # [ 4  9 16]
c = np.power(a, 3)  # [ 8 27 64]

三角函数和指数函数

NumPy 中包括了一系列的三角函数和指数函数，这些函数都可以对数组进行操作。

下面是一些例子：

# 三角函数和指数函数
a = np.array([0, np.pi/2, np.pi])
b = np.sin(a)  # [0.0000000e+00 1.0000000e+00 1.2246468e-16]
c = np.cos(a)  # [ 1.000000e+00  6.123234e-17 -1.000000e+00]
d = np.tan(a)  # [ 0.00000000e+00  1.63312394e+16 -1.22464680e-16]
e = np.exp(a)  # [ 1.          4.48168907 23.14069263]

除此之外，还有以下三角函数：

• np.arcsin(x)：逐元素计算反正弦值。
• np.arccos(x)：逐元素计算反余弦值。
• np.arctan(x)：逐元素计算反正切值。
• np.sinh(x)：逐元素计算双曲正弦值。
• np.cosh(x)：逐元素计算双曲余弦值。
• np.tanh(x)：逐元素计算双曲正切值。
• np.arcsinh(x)：逐元素计算反双曲正弦值。
• np.arccosh(x)：逐元素计算反双曲余弦值。
• np.arctanh(x)：逐元素计算反双曲正切值。

使用代码如下：

import numpy as np

a = np.array([0, np.pi/4, np.pi/2])

print(np.arcsin(a))     # [0.         0.90333911        nan]
print(np.arccos(a))     # [1.57079633 0.66745722        nan]
print(np.arctan(a))     # [0.         0.66577375 1.00388482]
print(np.sinh(a))       #[0.         0.86867096 2.3012989 ]
...

数组逻辑运算

NumPy 中的逻辑运算主要包括以下几种：

• np.logical_and(x1, x2, ...)：逐元素进行逻辑 AND 操作。
• np.logical_or(x1, x2, ...)：逐元素进行逻辑 OR 操作。
• np.logical_not(x)：逐元素进行逻辑 NOT 操作。
• np.logical_xor(x1, x2, ...)：逐元素进行逻辑 XOR 操作。

示例代码：

import numpy as np

a = np.array([True, True, False, False])
b = np.array([True, False, True, False])

print(np.logical_and(a, b))  # [ True False False False]
print(np.logical_or(a, b))   # [ True True  True False]
print(np.logical_not(a))     # [False False  True  True]
print(np.logical_xor(a, b))  # [False  True  True False]

NumPy数组的代数运算

NumPy数组除了常用的数学运算，还支持代数运算，包括向量的点积、叉积、矩阵的乘法、求逆等。下面分别介绍这些运算。

向量的点积（dot product）

向量的点积是指两个向量对应位置的数相乘之后求和的结果。在NumPy中，可以使用numpy.dot()函数计算两个向量的点积。例如：

import numpy as np

a = np.array([1, 2, 3])
b = np.array([4, 5, 6])
c = np.dot(a, b)
print(c) # 32

向量的叉积（cross product）

向量的叉积是指两个向量所在平面的法向量。在NumPy中，可以使用numpy.cross()函数计算两个向量的叉积。注意，这个函数只能计算三维向量的叉积。例如：

import numpy as np

a = np.array([1, 2, 3])
b = np.array([4, 5, 6])
c = np.cross(a, b)
print(c) # [-3  6 -3]

矩阵的乘法（matrix multiplication）

矩阵的乘法是指两个矩阵的乘积。在NumPy中，可以使用numpy.matmul()函数或者@运算符计算两个矩阵的乘积。例如：

import numpy as np

a = np.array([[1, 2], [3, 4]])
b = np.array([[5, 6], [7, 8]])
c = np.matmul(a, b)
print(c) # [[19 22]
         #  [43 50]]

矩阵的逆（matrix inverse）

矩阵的逆是指一个矩阵与它的逆矩阵相乘等于单位矩阵。在NumPy中，可以使用numpy.linalg.inv()函数计算矩阵的逆。例如：

import numpy as np

a = np.array([[1, 2], [3, 4]])
a_inv = np.linalg.inv(a)
print(a_inv) # [[-2.   1. ]
             #  [ 1.5 -0.5]]

需要注意的是，只有可逆矩阵才有逆矩阵。如果矩阵不可逆，numpy.linalg.inv()函数会抛出LinAlgError异常。

NumPy数组的统计函数

NumPy提供了很多数组的统计函数，用于计算数组的各种统计信息，比如最大值、最小值、均值、标准差、方差、中位数、百分位数等等。这些函数广泛应用于数据分析、机器学习等领域。

下面介绍一些常用的NumPy数组统计函数：

1. np.max(): 计算数组的最大值。

2. np.min(): 计算数组的最小值。

3. np.mean(): 计算数组的均值。

4. np.median(): 计算数组的中位数。

5. np.std(): 计算数组的标准差。

6. np.var(): 计算数组的方差。

7. np.percentile(): 计算数组的百分位数。

除了上述函数，NumPy还提供了一些其他的数组统计函数，比如np.sum()用于计算数组元素的总和，np.prod()用于计算数组元素的乘积，np.cumsum()用于计算数组元素的累计和，np.cumprod()用于计算数组元素的累计乘积等等。

这些函数的使用方法类似，都可以传入一个数组作为参数，例如：

import numpy as np

a = np.array([1, 2, 3, 4, 5])
print(np.max(a)) # 输出：5
print(np.mean(a)) # 输出：3.0
print(np.percentile(a, 50)) # 输出：3.0

还可以在函数中指定axis参数，计算数组沿指定轴的统计值，例如：

b = np.array([[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]])
print(np.max(b, axis=0)) # 输出：[7 8 9]
print(np.mean(b, axis=1)) # 输出：[2. 5. 8.]

上述代码中，np.max(b, axis=0)计算的是数组b沿着第0个轴的最大值，也就是每一列的最大值，结果是一个长度为3的数组；np.mean(b, axis=1)计算的是数组b沿着第1个轴的均值，也就是每一行的均值，结果是一个长度为3的数组。

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