波士顿房价预测

目标

这是一个经典的机器学习回归场景，我们利用Python和numpy来实现神经网络。该数据集统计了房价受到13个特征因素的影响，如图1所示。
对于预测问题，可以根据预测输出的类型是连续的实数值，还是离散值，区分是回归还是分类问题。**因为房价是一个连续值，这是一个回归任务。**下面利用简单的线性回归来解决这个问题，并利用神经网络来实现这个模型。

线性回归模型

假设房价和各个影像因素之间的函数关系是：
y = ∑ j = 1 M x j w j + b y= \sum_{j=1}^{M}x_jw_j + b y=∑j=1M​xj​wj​+b
模型的目标就是通过拟合数据来求出 w j w_j wj​和 b b b两个参数。线性回归模型采用均方误差MSE损失函数（ L o s s Loss Loss）,用以衡量预测房价和真实值的差异，公式：

M S E = 1 N ∑ i = 1 N ( Y i ∧ − Y i ) 2 MSE=\frac{1}{N}\sum_{i=1}{N}(Y_i^{\wedge} - Y_i)^2 MSE=N1​∑i=1​N(Yi∧​−Yi​)2

思考：为什么要以均方误差为损失函数？考虑到便于求解。

线性回归的神经网络结构

神经网络结构就是一个个神经元加层来组成。线性回归认为是神经网络模型的一种简单特例，是一个只有加权求和，没有非线性变换的神经元，如图2:。

两层神经网络

深度学习不仅实现了模型的端到端学习，还推动了人工智能进入工业大生产阶段，产生了标准化、自动化和模块化的通用框架。不同场景的深度学习模型具备一定的通用性，五个步骤即可完成模型的构建和训练。如图3所示。
### 数据处理

数据探查

import numpy as np
import json
# 读入训练数据
datafile = './work/housing.data'
data = np.fromfile(datafile, sep=' ')

• 数据变形

feature_names = [ 'CRIM', 'ZN', 'INDUS', 'CHAS', 'NOX', 'RM', 'AGE','DIS', 'RAD', 'TAX', 'PTRATIO', 'B', 'LSTAT', 'MEDV' ]
feature_num = len(feature_names)
data = data.reshape([data.shape[0] // feature_num, feature_num])
print(data.shape) # 将数据做了转化样本总数是506个样本

• 划分数据集
  将数据集划分训练集和测试集，训练集用于确定模型的参数，测试集用于评估模型的效果。图5：
  上学时总有一些自作聪明的同学，平时不认真学习，考试前临阵抱佛脚，将习题死记硬背下来，但是成绩往往并不好。因为学校期望学生掌握的是知识，而不仅仅是习题本身。另出新的考题，才能鼓励学生努力去掌握习题背后的原理。同样我们期望模型学习的是任务的本质规律，而不是训练数据本身，模型训练未使用的数据，才能更真实的评估模型的效果。

# 数据集划分操作
ratio = 0.8
offset = int(data.shape[0] * ratio)
training_data = data[:offset]
training_data.shape
# print(data.shape)

• 数据集归一化
  利用最大值最小值归一方法，使得每个特征的值都是被缩放到[0,1]之间，这样做的好处有：1、模型训练更加高效，特征前的权重大小可以代表该变量对预测结果的贡献度。

maximums, minimums = \training_data.max(axis=0), \training_data.min(axis=0), 
# 对数据进行归一化处理
for i in range(feature_num):data[:, i] = (data[:, i] - minimums[i]) / (maximums[i] - minimums[i])

• 将上述过程封装为函数

def load_data():# 从文件导入数据datafile = './work/housing.data'data = np.fromfile(datafile, sep=' ')# 每条数据包括14项，其中前面13项是影响因素，第14项是相应的房屋价格中位数feature_names = [ 'CRIM', 'ZN', 'INDUS', 'CHAS', 'NOX', 'RM', 'AGE', \'DIS', 'RAD', 'TAX', 'PTRATIO', 'B', 'LSTAT', 'MEDV' ]feature_num = len(feature_names)# 将原始数据进行Reshape，变成[N, 14]这样的形状data = data.reshape([data.shape[0] // feature_num, feature_num])# 将原数据集拆分成训练集和测试集# 这里使用80%的数据做训练，20%的数据做测试# 测试集和训练集必须是没有交集的ratio = 0.8offset = int(data.shape[0] * ratio)training_data = data[:offset]# 计算训练集的最大值，最小值maximums, minimums = training_data.max(axis=0), \training_data.min(axis=0)# 对数据进行归一化处理for i in range(feature_num):data[:, i] = (data[:, i] - minimums[i]) / (maximums[i] - minimums[i])# 训练集和测试集的划分比例training_data = data[:offset]test_data = data[offset:]return training_data, test_data

获取数据

# 获取数据
training_data, test_data = load_data()
x = training_data[:, :-1]
y = training_data[:, -1:] # 实际值

模型设计

一层神经网络设计

模型的设计是深度学习模型关键要素之一，称为网络结构。相当于模型的假设空间，既是实现模型的“前向计算”（从输入到输出）过程。
如果将输入和输出都用向量表示，输入特征x有13个向量，y有1个向量。那么权重参数就是13*1。

w = [0.1, 0.2, 0.3, 0.4, 0.5, 0.6, 0.7, 0.8, -0.1, -0.2, -0.3, -0.4, 0.0] #第一层的权重参数
w_t = np.array(w).reshape([13, 1]) # 相当于矩阵的转置
w_t.shape
# 一个特征列就是一个向量

假设第一个样本x[0]和一层神经网络进行运算。 y = x . w T y=x.w^T y=x.wT运算逻辑。其中 x [ 0 ] = x 1 , x 2 , . . . x 13 x[0]={x_1,x_2,...x_{13}} x[0]=x1​,x2​,...x13​，x [0]的shape是（1,13）, w T w^T wT的维度是(13,1)，刚好满足两个矩阵乘法的运算原则。

x1=x[0] #获取第一个样本
print(x1.shape)
t = np.dot(x1, w_t) 
print(t.shape) 
# 我们发现样本的特征向量与参数向量相乘的结果是scaler。
# 矩阵的乘法（1,13）(13,1) A*B其中A的列要和B的行相等才可进行矩阵的乘法运算。
b = -0.2
z = t + b
print(z)

完整的线性回归计算公式是: z = t + b z=t+b z=t+b，b是初始化偏移量，以上从特征[0]到计算输出值的过程就是“前向计算”。
定义一个类方便后面调用：

class MyNetwork(object):def __init__(self, num_of_weights):np.random.seed(0)self.w = np.random.randn(num_of_weights,1)self.b = 0.def forward_m(self,x):# 表示的是前向计算res = np.dot(x,self.w) +self.breturn res

二层神经网络

定义两层的神经网络，其中需要注意的地方：输入数据是直接和第一层进行 x . w T x.w^T x.wT运算，第一层每个神经元的输出则是做为第二层每个神经元的输入x。那么在第二层神经运算是 w . x w.x w.x，就是对应位置元素相乘 [ x 1 1 . w 1 1 , x 1 2 . w 1 2 , x 1 3 . w 1 3 , . . . x 1 13 . w 1 13 ] [ x_1^1.w_1^1,x_1^2.w_1^2,x_1^3.w_1^3,...x_1^{13}.w_1^{13}] [x11​.w11​,x12​.w12​,x13​.w13​,...x113​.w113​]，在与第二层的权值参数 w 2 w_2 w2​进行运算。

# 定义两层神经网络输出
class My2Network(object):def __init__(self, num_of_weights):np.random.seed(0)# 两层神经网络共享权值w self.w = np.random.randn(num_of_weights,1)self.ww = np.random.randn(num_of_weights,1)self.b = 0.def forword(self,x):# 前向计算有两层神经网络z_1 = np.dot(x,self.w)# 计算第一层输出做为第二层的输入out_1 = self.w.reshape([1,13]) * xz_2 = np.dot(out_1,self.ww)return z_1 + z_2 + self.b

训练配置

模型设计完成后，需要通过训练配置寻找模型的最优值，即通过损失函数来衡量模型的好坏。训练配置也是深度学习模型关键要素之一。
通过模型计算 x 1 x_1 x1​表示的影响因素所对应的房价应该是z, 但实际数据告诉我们房价是y。这时我们需要有某种指标来衡量预测值z跟真实值y之间的差距。对于回归问题，最常采用的衡量方法是使用均方误差作为评价模型好坏的指标，公式为:
L o s s = ( y − z ) 2 Loss = (y-z)^2 Loss=(y−z)2
Loss就是损失函数，衡量模型好坏的指标。在回归问题中一般是均方误差作为损失函数，而在分类问题中采用交叉熵作为损失函数。
x 1 x_1 x1​样本的损失：

loss = (y_1 - res_1)*(y_1-res_1)
print(loss)

因为在计算损失函数需要把每个样本的损失函数得到，求和在平均。
L o s s = 1 N ∑ i = 1 N ( y i − z i ) 2 Loss=\frac{1}{N}\sum_{i=1}^{N}(y_i - z_i)^2 Loss=N1​∑i=1N​(yi​−zi​)2
在前Network类中增加loss函数。

class Network(object):def __init__(self, num_of_weights):# 随机产生w的初始值# 为了保持程序每次运行结果的一致性，此处设置固定的随机数种子np.random.seed(0)self.w = np.random.randn(num_of_weights, 1)self.b = 0.def forward(self, x):z = np.dot(x, self.w) + self.breturn zdef loss(self, z, y):error = z - ycost = error * errorcost = np.mean(cost)return cost

训练过程

在模型的前面两部完成，接下来就是求解参数 w ， b w，b w，b的数值，这就是模型训练的过程。求解w和b使得损失函数取得极小值。
e g . eg. eg. 下面给出一个微积分的案例：一个曲线在某点的导数。导数等于在该点处的切线的斜率。

上图曲线在极值点处的斜率等于0，既是函数的极值点。那么损失函数的取值为下面方程组的解：
∂ L ∂ w = 0 \frac{\partial L}{\partial w} = 0 ∂w∂L​=0
∂ L ∂ b = 0 \frac{\partial L}{\partial b} = 0 ∂b∂L​=0
上述两个方程组的解就是最后模型训练获取到的参数。但是这种方法有个缺点：当模型中含有非线性变换，则不好计算。我们引入一种普世的方法——梯度下降法。

• 梯度下降算法
  在现实中存在大量函数正向求解容易，但是反向求解不容易，被称为单向函数。神经网络的损失函数就是单向函数。
  这种情况我们可以在现实生活中类比一个想从山峰走到山谷的盲人。他看不见山谷在哪儿（无法逆向求解损失函数为0时的参数值），但是可以伸出脚探索身边的坡度(当前点的导数，梯度)。所以求解Loss的最小值过程就是：在从当前参数取值，一步步按照梯度的反方向下降。直到到达最低点。
  下面。我们随机从损失函数中去参数 w 5 , w 9 w_5,w_9 w5​,w9​看看他们的变化情况。
  L = L ( w 5 , w 9 ) L=L(w_5,w_9) L=L(w5​,w9​)
  我们将 [ w 0 , w 1 , . . . 2 12 ] [w_0,w_1,...2_{12}] [w0​,w1​,...212​]中除去 w 5 , w 9 w_5,w_9 w5​,w9​之前的参数和b全部固定下来。可以用图画出 L ( w 5 , w 9 ) L(w_5,w_9) L(w5​,w9​)的形式。

net = Network(13)
losses = []
#只画出参数w5和w9在区间[-160, 160]的曲线部分，以及包含损失函数的极值
w5 = np.arange(-160.0, 160.0, 1.0)
w9 = np.arange(-160.0, 160.0, 1.0)
losses = np.zeros([len(w5), len(w9)])#计算设定区域内每个参数取值所对应的Loss
for i in range(len(w5)):for j in range(len(w9)):net.w[5] = w5[i]net.w[9] = w9[j]z = net.forward(x)loss = net.loss(z, y)losses[i, j] = loss#使用matplotlib将两个变量和对应的Loss作3D图
import matplotlib.pyplot as plt
from mpl_toolkits.mplot3d import Axes3D
fig = plt.figure()
ax = Axes3D(fig)w5, w9 = np.meshgrid(w5, w9)ax.plot_surface(w5, w9, losses, rstride=1, cstride=1, cmap='rainbow')
plt.show()

观察上述曲线呈现出“圆滑”的坡度，这正是我们选择以均方误差作为损失函数的原因之一。图6 呈现了只有一个参数维度时，均方误差和绝对值误差（只将每个样本的误差累加，不做平方处理）的损失函数曲线图。
由此可见，均方误差表现的“圆滑”的坡度有两个好处：

• 曲线在最低点出是可导的。
• 越接近最低点，曲线的坡度逐渐放缓，有助于通过当前的梯度来判断接近最低点的程度（是否逐渐减少步长，以免错过最佳点）。

然而绝对值误差事不具备的。这也是损失函数的设计不仅仅要考虑“合理性”，还要追求“易解性”的原因。

后面的内容请查看下一篇博客：

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