《机器学习基石》—Linear Models for Classification

到目前为止，我们学习了线性分类，线性回归，逻辑回归这三种模型。以下是它们的pointwise损失函数对比（为了更容易对比，都把它们写作s和y的函数，s是wTx，表示线性打分的分数）：

把这几个损失函数画在一张图上：

如果把逻辑回归的损失函数ce做一个适当的放缩，则可以得到下图：

可以看出，平方误差和放缩后的交叉熵误差是0／1误差的上限，这里以放缩后的ce举例，由于对于每个点的error均成立不等式，则不论是对于Ein还是Eout仍然有不等式成立，因为它们是数据集上每个点error的期望：

应用到VCbound，就有：

可以看出，只要把训练集上的交叉熵误差做到低，则就能保证真实的0/1错误也比较低。

因此线性回归和逻辑回归都可以用来做分类：

正如之前在《噪声与错误》一节中所说，我们这里用平方错误或交叉熵错误来代替01错误，作为errhat。

通常，我们会使用线性回归的结果作为逻辑回归，PLA，pocket算法的初始值。

2 随机梯度下降法

（注：课程里面并没有证明为什么SGD能work，直接说这样替代是可行的。）

使用随机选取一个点的梯度来代替真实的梯度，计算代价明显降低，同时能保证效果是近似的。（收敛速度会变慢，因为最快的收敛方向一定是真实的梯度方向）。

PLA和逻辑回归的联系：

当逻辑回归使用SGD时，与PLA形式上很类似，可以看作是一种soft-PLA。因为PLA是要么更新，要么不更新，而使用SGD的逻辑回归则是每次更新一定的值：

注意，对于随机梯度下降法来说，停止的条件一般是足够的迭代次数，而不是看梯度是否为0。否则再去算梯度是否为0，就没有必要用SGD了。

先介绍一种简单的方法，OVA：

要做k元分类，我们相当于对同一个训练数据集训练k个二元逻辑回归模型。训练第k个模型时，标签做一定的修改，类别是k就把标签记为1，不是k就记为-1。

在做预测时，就是对这k个模型都算一遍，选择打分最大的作为预测类别：

上面的算法的一个缺点是，当k很大且每个类别的样本数量均匀时，对每个训练来说就是不均衡的。可以使用下面的算法OVO来解决这个问题：

训练C(k,2)个二分类模型，每个模型训练只使用两个类的数据，显然这样就是均衡的。做预测时，每个模型投票给一个类，最终选用得票数最多的类作为预测结果：

另外一种方法，是使用soft-max回归。事实上，逻辑斯蒂函数是soft-max函数的一个特例。

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