今天，数模君想和大家一起交流一下打台球的经验，如果你也是一个经常打台球的人，那么可能有这样的体会： 有时我们认真瞄准了球，计算好了角度，结果打出去的球却完美偏离了我们预想的路线；有时我们可能只是用很大的力气随便朝一个方向打出一杆，球经过多次反弹后竟然准确地落入袋中。 
于是，我们打台球时经常会说， 大力出奇迹 。 但所谓的“大力出奇迹“真的只是因为运气好么？这种说法是否有科学依据？今天，让我们从数学建模的角度来“一本正经”地分析一下。 
1、问题假设
为了模拟“大力”击打台球时的情形，我们首先进行一些假设：球杆击中球的中心，球的初速度方向和力一致；
击球力度足够大，以致可以忽略台球桌和台球之间的摩擦力；
台球不会旋转，只沿直线运动；
忽略台球撞击球桌时的动能损耗。
在这些假设条件下，台球只要不进袋，就可以进行无限次的反弹。台球在触碰球桌边缘后，遵循镜面反射原理，入射角度与反射角度相等，即： 
那么台球经过多次反弹之后，是否会更容易落入球袋呢？ 2、MATLAB仿真
数模君参考了球桌尺寸，在MATLAB中绘制了台球桌及六个袋的位置。
在仿真过程中，首先在球桌上随机设定台球的起始位置，然后随机选择为台球确定一个运动方向向量，如果台球没有进洞且没有碰到球桌边缘，则台球沿当前方向持续运动，碰到球桌边缘之后，遵循镜面反射原理，改变运动方向，如果台球进洞则仿真终止。 
为了防止仿真程序进入死循环，我们设定台球在经过 1000次 反弹之后，仍没有进洞，则认为在该条件下，台球不会进洞。 按照上述流程，我们进行了 100000次 模拟之后，发现了一个惊人的结果： 100000次模拟中，台球进袋99575次，成功率高达99.6%。 
于是我们可以得到这样一个结论： 只用打出球时足够大力，几乎可以百分百地进球，”大力出奇迹！“是成立的 。所以，如果你打台球总是输，那么数模君可以“认真负责”地告诉你，”你不是技不如人，你是力不如人！“，你需要的不是练习握杆姿势，也不是如何瞄准，你只需要锻炼臂力，打台球的时候使出最大的力气出杆，当你的出杆力度大到可以忽略摩擦力、忽略台球碰撞时的动能损耗时，你就稳赢了！ 
3、为什么有的球打不进？
一本正经的聊完了台球秘笈，下面数模君和大家聊一些”不太正经“的，为什么会在仿真实验中存在0.4%案例不进洞呢？为什么会打不进呢？让我们来仔细看下在一颗没进的球身上到底发生了什么？
其实，这样的情况有很多，最简单的一种就是当台球被垂直打向球桌边缘时，其运动轨迹就被大大局限，便不可能进袋了。 
在台球问题中，我们将台球多次反弹后，以相同运动方向回到起始点的现象称为 周期轨道 (periodic orbit)。出现周期轨道时，有可能台球在进入周期轨道前就已经进袋，也有可能台球的周期轨道不接近袋的附近，球就没有进袋的可能了(不过这种情况的可能性只有0.4%)。 4、如果球桌是三角形……
我们已知台球桌是一个长方形，会产生周期轨道现象，不妨开一下脑洞，如果台球桌变成了三角形会发生什么呢？大力就一定会出奇迹吗？讨厌的周期轨道还会存在吗？
实际上，当台球桌变成三角形时，事情变得有趣了起来。 (1)锐角三角形 在锐角三角形中，我们分别从三个顶点向对边作垂线，并将三个垂足连成一个三角形，便可以轻而易举地获得一条周期轨道。(大家可以利用几何知识推导一下，易得∠1=∠2，∠3=∠4，∠5=∠6，符合镜面反射原理) 
(2)直角三角形 在直角三角形中，也有一个生成周期轨道通用的方法：从斜边上任取一点作为起始点，以垂直于斜边的方向作为初始运动方向，球在经过五次反弹后便会回到起始点(大家可以再次利用几何知识推导一下)，便可以形成一条周期轨道。 
(3)钝角三角形 然而，在钝角三角形中，问题就变得复杂了起来。 2009年，美国数学家Richard Evan Schwartz证明了当三角形中最大角小于100°时，周期轨道存在。
2018年，George Tokarsky, Jacob Garber, Boyan Marinov, Kenneth Moore这四位数学家一起证明了当三角形中最大角小于112.3°时，周期轨道存在。
5、多边形的周期轨道问题
如果三角形球桌也会产生周期轨道，那么大家是不是会有疑问，五边形、六边形，甚至十二边形的台球桌呢？
其实，针对多边形的周期轨道问题，数学家们的研究成果还真不少。 1986年，美国数学家Howard Masur发现了一个规律：对于任意边数的多边形，只要这个多边形中所有的角的大小都是有理数，就必然存在至少一条周期轨道。这条十分好用的规律看似简单，其证明却十分复杂，运用到了全纯二次微分、泰希米勒空间、遍历性等众多数学知识，数模君就不详细介绍啦~ 6、总结
以上我们所讨论的问题都属于 动力系统中动力台球(dynamical billiard) 这一分支。除了讨论多边形球桌，甚至还会讨论台球在圆形、椭圆形、环形、多边体、高维空间和非欧几何空间中的运动规律，其中有大量动态系统和遍历理论的运用。
最后，数模君想再传授给大家一个十分特别的大力出奇迹台球小技巧。 如果我们的台球桌变成了椭圆形，球袋位于椭圆的其中一个焦点上，而我们想要打的球位于椭圆的另一个焦点上，我们只要用大力向任意方向击打球，球经过反弹后便总能打进球袋！ 
大家如果不相信，可以用几何知识自己证明一下，也可以搭建一个简易球桌实验一下哦。 
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